比特币价格与时间、挖矿难度、储量-产量三者之间，到底存在什么关系？
Stephen Perrenod近日发表一篇长文，用三种模型对比特币价值进行了分析，结果发现......
原文标题为“Modeling Bitcoin Value: Three Methods”，作者：Stephen Perrenod，由贝宝金融进行编译。
1 安全性和稀缺性：比特币的双重反馈循环
比特币的美妙之处在于，它的安全性和稀缺性共同作用，形成一组自我增强的协作反馈循环。
如下图所示：
图1：比特币的稀缺性和安全性增强了它的价值，形成了一个双重反馈循环
在减半之间，由于每个区块的奖励占已挖出币量（当前大约为1800万个比特币）的比例是递减的，比特币变得更加稀缺。
在产量定期减半的情况下，比特币的稀缺性日益明显。每210,000个区块发生一次减半，周期大约为四年，这使得区块奖励削减了一半，并使比特币的长期通货膨胀率趋近为零。
注：挖矿奖励减半的设计是专门为了抑制加密数字货币通胀及延长挖矿生态而设计的一种长效机制。
上图右上方的循环图表明，每一个新比特币在流通中所占的比例越来越小，对市场的影响也越来越小。这种日益加剧的稀缺性推高了价格。
上图左下位置的循环图则表明——价格的上涨鼓舞了挖矿的热情。
算力的增加提高了比特币的安全性，而安全措施的加强也将推动价格上涨。因此，稀缺性增加了安全性，日趋增强的安全性和稀缺性将在长期内提高比特币的价格。
2 时间基础：比特币日历系统
在进行价格、市值、哈希率、难度、交易价值、存量，以及其他变量与时间相关变量的研究时，我建议以比特币区块链日历作为基础，考察相关性和这些因素与时间变量的关系，将会更自然、恰当和准确。
在完成分析之后，这些结果可以很容易地转换为常规的公历时间，以便演示和进一步分析。
在比特币日历系统中，“区块年”（Block Year）为52500个区块，而四年的“区块时代”（Block Era）是210000个区块。(更多细节见《以中本聪时间生活》一文)。
比特币的价值源于其安全性和稀缺性。
我们看一下以下三个模型。
3 模型一：挖矿难度获得安全性
哈希率（算力）的存在一定程度上保障了比特币的安全性，但是事实证明，哈希率的曲线是一条相对平滑的曲线，因为哈希率每2016区块进行调整。
哈希率不是固定的一个值，它会随着挖矿难度的变化不断调节。
3.1 模型建立
实际上，在比特币的生命周期中，哈希率和难度都随着区块时间的12次幂而增加。
在文章《密码学打破摩尔定律》中，我们研究了过去9.5个“区块年”以来哈希率的增长，发现它一直以区块时间的12次方（或相等地，区块的高度）增长。
哈希率的基本算法驱动因素是调整的比特币的难度。每隔两个“区块周”（每2016区块）发生一次调整。难度曲线比哈希率甚至是每周哈希率的平均值平滑得多。如果区块的生产速度比平均10分钟要快（慢），则接下来两周的难度会增加（降低）。矿工最快挖出一个区块的平均时间（秒）为：时间=难度* 232/哈希率。
图2：难度对数与区块年的关系(相对于区块年对数的回归)
让我们来看看区块时间和挖矿难度的回归关系图。
图2显示了以季度为间隔的区块链年和难度（以10为底数）的对数。在第4年和第5年，由于ASICS矿机的推广应用，GPU挖矿的形式被取代，使得挖矿的难度急剧增加。
下表引用了半年的数据，但回归分析使用的是季度数据。
将对数范围中的所有数据（难度对数与区块年对数）进行线性回归分析，可以发现指数为12.38的幂律关系。然而，如果我们将数据限制在第6年及以后(ASICS矿机出现后)，幂律指数就将变成为10.51 (R²= 0.975)。挖矿难度似乎与区块高度或区块年非常相关。
比特币的价格和挖矿难度长期处于正向循环。更高的价格会吸引更多的矿工入场，从而提高哈希率，导致难度再次提高，使出块时间保持在10分钟左右。矿机技术的进步提高了矿工的利润率，也提高了哈希率，导致难度增加。
3.2 价格和难度的关系
那么价格和难度有什么关系呢?
Woobull喜欢研究一个由难度的多个移动平均线组成的比特币难度色带。这张图表直观展现出——强劲的价格回调会导致该指数在一段时间内(可能长达一年)的难度趋于平缓。这可能是一个买入机会，因为实力较弱的矿工已被迫出局，从而恢复了市场的稳定性。
这时也可能是我们最接近供求平衡点的一次，因为比特币的供应量对价格几乎没有太大的反应，除了极短的时间内——哈希率会自动修正区块时间为10分钟，所以供给的释放率基本上是固定的。
如果我们使用季度数据，从第6区块年开始，以难度对数对价格对数进行回归，则发现斜率为0.646，R²= 0.919。以难度作为安全的代理，我们可以用难度与区块年的关系(指数为10.51的幂律)和价格-难度的关系(指数为0.646的幂律)来获得以下价格预测：
从第6区块年到第11.5区块年的价格对数预测，在误差项中的标准差为0.289，其中一个σ的价格变化为1.95。
因此，如果区块年和价格与难度之间的关系持续存在，那么在第12区块年（2020年）附近，有68%的概率比特币价格会在区间8000美元到30300美元 之间；在第15区块年（2023年）附近，有68%的概率比特币价格会在区间 36400美元到13.8万美元之间。
3.3 回归和协整
必须小心处理非正态分布的过程之间的回归产生的R²值，因为可能会出现虚假的相关性。
在历史价格数据中，难度和价格都随着时间强劲增长。为了使价格和难度之间有具有有效的幂律回归，重要的是查看正在比较的过程的顺序。变量要微分多少次才能得到稳定的正态分布?
幸运的是，对数难度和对数价格似乎都是二阶过程。对于对数难度，一阶（二阶）增量的平均值为0.2306（-0.0129），其中5.1％（57.9％）的值为负。一阶差异看起来并不接近正常值，但二阶差异看起来很正常。
对于价格对数，一阶（二阶）平均值为0.114（-0.01），一阶（二阶）差异的负值为33.3%（47.4%），一阶微分似乎不太正常。二阶微分看起来比较正常。因此，难度和价格之间的协整看起来是可行的，因为两者看起来都是二阶过程。
4 模型二：稀缺性和储量-产量（S2F）模型
最著名的比特币价值分析模型是Plan B的储量-产量模型（稀缺性模型）。
注：Plan B是Twitter上一位有名的加密资产分析师。
这个模型的表达很简单，即稀缺性赋予价值。Plan B指出，这适用于包括黄金、白银和铂在内的贵金属；甚至钻石也符合指数为 2.2的相同普通幂律曲线(注意，之后的文章里，PlanB将白银的库存流动量修正为更低的值，并增加了铂金和钻石，并且基本上都有相同的曲线)。
他用比特币相对于其不断增加的储量-产量（以对数价格记录储量对比产量）的演变为模型，结果发现，比特币遵循的幂律甚至比贵金属更陡峭，大约在3.3左右。
注：Stock-to-Flow（S2F）比率模型（即储量-产量模型）是指可用资产或储备资产的数量除以每年生产的数量。Stock-to-Flow比率是一个重要的指标，因为S2F中较高的指标值反映了资产每年通货膨胀发生率的降低。
或许，比特币幂律指数比黄金和贵金属指数陡峭50%的原因之一，就是比特币越来越高的安全性/难度。比特币变得越来越稀缺的同时，安全性也越来越高，而黄金的稀缺性和安全性基本上是静态的。
储量-产量与通货膨胀率成反比，用流通量除以包括回收和任何储量减少在内的一年生产量来衡量。就黄金而言，储量与产量比率（S2F）为55，约为1.8％的通胀率。这是近年来一个比较稳定的数字。
如果以区块时间来衡量，比特币有一个完全可预测的库存。有一些变化相对于日历时间有一些差异，但区块年非常接近日历年，目前缩短了几周。
《比特币的先决性的非通胀货币政策》这篇文章精确地阐明了S2F如何随着区块时间而增长。每个减半处的S2F = 4 x（2 ^ E -2），其中E是区块时代。目前，我们处于第3时代，这个阶段是在S2F比率的值为24的时候开始的。在两次减半过程中，S2F的值逐渐增加，然后在减半时发生极大的增长。
下一次比特币减半预计在2020年5月，彼时会进入比特币的第四个时代 (排在第三次减半后)，预估S2F值将跃升至56。其稀缺性也将被进一步放大。
届时，比特币的S2F值将在历史上首次与黄金匹配，通胀率将降至1.8%。比特币将变得比黄金还稀缺。到2024年，S2F将达到120，通胀率将下降到0.83%。
历史上从未有过如此强硬、如此绝对稀缺的通货。
利用区块日历系统中的季度数据，我发现幂律关系价格~ S2F ^ 3.25，类似于Plan B的结果。在这个分析中，我使用的是中点存货流量(回顾半年和展望半年)，而不是完全前瞻性或唯一后向的选项来测量流量。此幂定律回归的R²为0.926。
对两个非平稳过程（价格和储量-产量）的协整的更详细研究表明，这种关系是有效的。人们经常使用的比喻是，储量-产量是以一种刻意的方式领着主人回家的狗（向更高的价格靠拢），而被拴在狗上的醉汉，以一种受约束的随机行走中向任一侧移动。
实际上，对虚假相关性的担忧似乎与库存过剩过度相关。毕竟，区块时间内的储量产量不是一个随机过程，而是一个完全预定的计算。每次减半时，均由上述减半公式给出远期库存量，然后每隔区块年增加1.0个单位，直到下一个减半（因为将一年的恒定流量添加到储量中），直到下一次减半为止(因为一年的恒定流量被加到库存中)。因此，储量就可以作为度量其他更多派生过程(如价格、难度和哈希值)的基础向量。
价格预测的不确定性很大，在价格对数中，储量-产量模型预测误差的标准差为0.325，或在任一方向上的系数为2.11。
你可能会问，那主比特币链的分叉呢？BCH和BSV是原始比特币最大的硬叉，名义上具有相同的稀缺性属性，但是由于它们的安全性大大降低，并不是真正的去中心化，市场怀疑它们是否会严格遵守比特币核心供应算法。显然，它们的安全性要低得多，截至本文撰写之时，BCH的安全性降低了36倍，而BSV的难度甚至更低。
5 模型三：价格与区块时间
有些人，比如HC Burger，甚至喜欢根据常规日历时间直接模拟推测比特币的价格。使用区块时间，人们可以找到一个相当合理的幂律。Price~ Byr ^5.42, 其中Byr是区块的年数（同样可以用区块高度)。得到的R²值为0.916，略低于存量流量模型。价格对数的标准差是0.350，即2.24倍。
在一篇由Burgercrypto (Burger和Burgercrytpo是两个不同的平台)撰写的文章中，他提出了一个使用时间对数的问题。他担心的是:“如果两个时间序列可能是协整的，那么这些时间序列必须以相同的顺序进行积分”。
但是时间不是时间序列！它是一个完全预先确定的基础向量，用来映射其他数据。唯一存在的问题是：如果你使用公历时间，应该用什么作为零点。最明显的是2009年1月9日(或2009年1月3日)，但有时人们使用其他任意的起点，这似乎令人怀疑。
事实上，Burgercrypto指出时间是一个相对的概念，并讨论了各种启动时间的选择。如果使用区块时间，那么这不是问题，因为在这种情况下，有一个绝对定义的起点。至少对于区块时间以及储量产量的情况，我们确实有完全预先确定的基向量。使用区块时间的对数只是完全预先定义的基向量的一个变形。
6 三个模型的比较
我们在表5中总结了这三种预测，并在图3中绘制了它们。对于每一预测，标准差在价格的两边都约为预测价格的2倍。
储量-产量模型是最长期和最具前瞻性的模型，也显示出最快的价格反应，正如对冲击或冲击流量所期望的那样。我们可以称其为“冲击流”。与物理学中导致冲击波密度增加4倍的强冲击波不同，而供应量“冲击流”则使价格上涨了约十倍。
我们可以将储量-产量的模型视为先行指标，将基于价格的模型视为滞后或后向的指标。难度模型是一种重合的模型，和库存流量一样，它有一个可识别的驱动因素。
S2F模型有一个明确的价格驱动因素，即当S2F不可避免地每四个区块年被推到新的高点时所提供的冲量或大变化。这是一个陡峭的模型，价格是S2F的幂律，而S2F又是区块时间的指数。因此，它对未来价格的预测非常激进也就不足为奇了。显然，这也是最具前瞻性的模型，因为从现在到2140年之前，人们都知道减半效应。
对于日历时间或区块时间，唯一的直接驱动因素是持久性，或某种类似于林迪效应（备注：林迪效应是指，对于一些不会自然消亡的东西，比如一种技术、一个想法，它们的预期寿命和它们目前已经存在的时间成正比。）的东西，人们认为比特币网络具有更强的持久性和增长潜力，因为它的生命周期又延长了一个区块年。当然，随着时间的推移，难度和库存流量 会随着时间的推移而增加。
图3：第15年(2023年3月)区块时间、库存和库存流出的价格预测。下一次减半发生在第12块年(2020年5月)
安全性(难度)和稀缺性(储量-产量 )提供了价值的基本驱动力。安全使事物更有价值，或者至少保护了价值。人们想要存在保险库里的东西。稀缺性当然使东西更有价值，尽管钻石比煤都是碳，但钻石比煤更值钱。
所有这一切都是模型，他们会一直有参考价值，直到失效为止。有用，但不是最终的真理。我们仍然在学习，高度动态的比特币网络是如何演变，而且它有很大的复杂性。
难度模型产生于对价格和难度与一个适度的幂律相关的观察，而难度本身已经随着时间急剧增长。
在难度方面，考虑到电价和可用性方面的限制，人们不禁要问，它能否以如此快的速度增长。在《比特币电力消耗：是否值得？》文章中，我发现过去几年中比特币开采的用电量每年都增长一倍多。这可能导致矿工实行配给制或价格配给制。
在接下来的一两年里，我们跟踪价格行为，将会对比特币多少价值来自于安全性(难度)和多少价值来自于稀缺性(库存流量 )有一定的认识。也许有人会发展一个综合考虑这两个因素的复合模型。有趣的是，在接下来的3.5个区块年里，难度和库存流量模型最终预测价格都将在7万美元左右。
由于没有减半强迫函数产生的“量子脉冲”效应，难度是滞后的。由于矿工事先就知道会发生什么情况，因此他们会采取措施淘汰旧设备，升级到新设备，以适应产量减半后的环境。
看到这些模型的结果和高的标准差时，无论是使用基于难度、储量-产量，还是区块时间的预测，它都提醒我们，当比特币价格向相反方向移动1000美元或3000美元时，人们真的不应该恐慌。因为相对于比特币的典型波动率相比，这都是很小的一个偏移。
写这篇文章让我引入了另一种模型，基于难度的价格模型，但加深了我对Plan B的储量-产量模型的共同信念。我认为这两种模式都值得继续追踪。为何BCH和BSV等分叉拥有和比特币差不多的储量-产量，却价值相对比特币如此之低，对此难度分析可能提供一些解释。
我还鼓励使用区块时间作为回归和协整分析的基础：这是比特币的自然节奏。
7 中本聪的天才设想
在区块奖励算法中实行减半，似乎是中本聪的天才之举。举个例子，他本可以提议在42年的时间里每年释放50万比特币。
他选择将4个区块年作为周期进行减半，这提供了“冲击流“，表明他有一种先进的意识，即技术周期，或许还有货币和商业周期，将全面影响挖矿和整个比特币的经济。
挖矿硬件注定要比摩尔定律进步得更快。如果比特币成功了，不断上涨的价格将吸引更多的矿工进入这个行业。
对于S2F，虽然它有一个很强的基本原理，但到2024年，当S2F将等于120(通货膨胀率低于1%)时，该模型将进入一个未知的领域。这将是我们从未见过的货币资产的稀缺程度。到某个时间，幂律会被打破，但它会是当比特币的市值等于所有黄金的市值(8万亿美元)，或等于全球M2货币供应量(90万亿美元)，或其他水平吗?
储量产量模型量化了比特币未来的市场价值和货币供应量之间的关系，并暗示比特币价格将会放缓。
记住，重要的不仅仅是货币供应量，还有货币流通速度。目前，比特币的流通速度比美元快得多。更高的流通速度支持更大的经济体，但其稳定性较差。随着比特币变得越来越有价值，并成为一种更稳定的资产，比特币的流通速度预计会下降。
2024年后，一旦比特币的通货膨胀率不足1%，是0.4%还是0.1%又有什么关系呢?到2080年，除了最后100个比特币以外，所有的比特币都将被开采出来。在此之前，储量-产量模型可能会突破一个不那么陡峭的幂律。也许由于日益增加的难度而提高的安全性，还能支持目前的陡峭的幂律；人们还希望比特币年轻、充满活力的本性，以及它不断变化的库存是其中一个原因。
贵金属的幂律指数约为2.2，因此这可能是一个过渡阶段，因为比特币可能会在未来两、三、四次新供应冲击减半的情况下，与黄金和白银走上相同的曲线供应。
全球财富总额约为300万亿美元，但人们不需要总金额相同的基础货币，即账户单位。全球财富的三分之二都在房地产上，如果比特币成为未来货币体系的基础货币，就可以用比特币重新计价。那么未来就可能会出现比特币去中心化银行。
在我们抵达这个阶段之前，我们很可能看到各国央行将比特币纳入它们的储备余额，以此来捍卫它们的机构和银行体系的垄断地位。比特币严重挑战了基于法币的储备银行这一理念，所以可能出现许多变化，却难以预料。
